Ce projet de stage porte sur l'étude approfondie des fonctions de Mathieu, issues de l'équation de Helmholtz sur une ellipse. Il inclut l'analyse visuelle et analytique de ces fonctions, le développement d'algorithmes numériques pour calculer leurs racines, ainsi que la vérification numérique de propriétés mathématiques comme l'orthogonalité ou la conjecture de Polya. Les résultats sont visualisés et comparés à des cas de référence comme les fonctions de Bessel sur un disque.